מתמטיקאי הוא אדם שמסוגל למצוא אנלוגיות בין משפטים; מתמטיקאי טוב יותר הוא זה שרואה אנלוגיות בין הוכחות; המתמטיקאי הטוב ביותר מבחין באנלוגיות בין תיאוריות. אפשר לדמיין שהמתמטיקאי האולטימטיבי הוא זה שרואה אנלוגיות בין אנלוגיות.
— סטפן בנאך, מצוטט אצל סטניסלב אולם, Adventures of a Mathematician (1976)

ההיררכיה של בנאך מתארת סולם של יכולת מתמטית, אבל היא מתארת גם משהו כללי יותר — סולם של ראייה מדעית. למצוא אנלוגיה בין שני משפטים הוא לזהות חרוז מקומי. למצוא כזו בין הוכחות הוא לזהות שיטה שמשתלמת. בין תיאוריות — לזהות ארכיטקטורה נסתרת. בין אנלוגיות — להבחין בארכיטקטורה של ארכיטקטורות, בצורה שהצורות עצמן חולקות. בנאך הציב את השלב האחרון הזה בקצה הדמיון. הוא חשב שאחד או שניים לדור עשויים להגיע אליו.

הוא היה עצמו, על-פי הטקסונומיה שלו עצמו, קרוב לראש. סטפן בנאך נולד בקרקוב ב-1892, בנו הבלתי-חוקי של פקיד רכבת ואם שנעלמה מחייו לפני יום הולדתו השני. הוא גודל בידי כובסת, התחנך במידה רבה בעצמו, וקיבל את הכשרתו המתמטית בחדריהם האחוריים של בתי קפה ובשולי ספרים שלא תמיד היה יכול להרשות לעצמו. הרגע המכריע בחייו היה, לפי כל העדויות, מקרי. בפארק בקרקוב ב-1916, הוגו שטיינהאוס שמע במקרה שני צעירים על ספסל דנים באינטגרל לבג, ניגש אליהם וגילה את בנאך. שטיינהאוס יאמר מאוחר יותר שבנאך היה התגלית המתמטית הגדולה ביותר שלו.

משם הסיפור מתכווץ. דוקטורט ב-1920. ייסודה של ה-אנליזה הפונקציונלית כדיסציפלינה — מרחבי בנאך, משפט האן–בנאך, עקרון בנאך–שטיינהאוס, משפט בנאך–אלאוֹגלוּ, ומשפט נקודת השבת שנושא את שמו. פרדוקס בנאך–טרסקי, ב-1924, שבו כדור מתפרק ומורכב מחדש לשני כדורים בגודל המקורי — ההתקפה העדינה של הגיאומטריה על האינטואיציה. ובשנות ה-30, ב-בית הקפה הסקוטי בלבוב, שם בנאך וחוגו שרבטו בעיות פתוחות על שולחן שיש ולבסוף לתוך מחברת עבה שהמלצרית שמרה מאחורי הדלפק — הספר הסקוטי, החפץ הפיזי המפורסם ביותר במתמטיקה של המאה העשרים.

המלחמה סיימה את עידן הזהב של לבוב. תחת הכיבוש הנאצי בנאך שרד, כמו אינטלקטואלים פולנים רבים אחרים, באמצעות האכלת כינים ב-מכון החיסונים לטיפוס של רודולף ויגל — עבודה שהקנתה אישור עבודה גרמני יקר ערך ושמרה על חייו לעוד כמה שנים. הוא מת מסרטן ריאות באוגוסט 1945, שבועות אחרי תום המלחמה, מבלי שראה את לבוב הופכת ל-לביב. הסולם שלו נשאר.

שמונים שנה לאחר מכן, השלבים מטופסים בקצב שהיה מדהים אותו — על-ידי מערכות שאינן, באף מובן שגור, מבינות את שהן עושות.

סוגי האנלוגיות שמערכות AI של היום מוצאות אינן עוד מן הסוג שתודעה אנושית יחידה יכולה להחזיק. AlphaFold, ב-2020, סקרה מאות מיליוני רצפים אבולוציוניים והבחינה באנלוגיה בין שיתופי-שונות בעמודות חומצות אמינו לבין מגע תלת-ממדי בחלבונים מקופלים — אנלוגיה שנחשדה במשך חמישים שנה ומעולם לא הולידה תוצר. בעיית קיפול החלבון, שניסח אנפינסן ב-1972 ושעמדה ללא תזוזה למשך חצי מאה, נפתרה במידה משמעותית בידי מערכת שהתאמנה לזהות תבניות לרוחב ממלכה ביולוגית שלמה בבת אחת. AlphaTensor, ב-2022, סרקה את מרחב האלגוריתמים הבילינאריים והעלתה דרכים חדשות לכפול מטריצות מהר יותר מ-שטראסן — שיטות שחמקו מאלגבריסטים אנושיים מאז 1969. FunSearch מצאה בניות חדשות לבעיית קבוצת המכסה (cap-set); AlphaGeometry זכתה במדליות באולימפיאדת המתמטיקה הבינלאומית בכך שהציעה בנייות עזר שבני אדם הפסיקו לחפש. מודלים לחומרים הציעו מאות אלפי מבנים גבישיים יציבים — יותר מכל ההיסטוריה הקודמת של פיזיקת מצב מוצק יחדיו. המהלך, בכל אחד מהמקרים, זהה: סקירה על פני קורפוס גדול מכדי שאדם יחיד יחזיק, וגילוי תבנית שבדיעבד הייתה תמיד שם.

אלו הם שני השלבים הראשונים של בנאך בקנה מידה תעשייתי. אנלוגיות בין משפטים ובין הוכחות — בין רצפים למבנים, בין תצורות לאנרגיות, בין בעיות לטקטיקות שפותחות אותן — הפכו לאפשריות באופן שאף דור קודם לא היה מסוגל לדמיין. השלב השלישי גם הוא מתחיל להיכנע. ב-2021, שיתוף פעולה בין DeepMind והמתמטיקאים ג'ורדי ויליאמסון ומרק לקנבי הניב שתי תוצאות לא-טריוויאליות — אחת בתורת ההצגות, אחת בתורת הקשרים — על-ידי אימון רשתות נוירונים להציע אילו משתנים, במרחב עצום של אינווריאנטים, קשורים זה לזה, ולתת למתמטיקאים אנושיים לעקוב אחר ההצעה עד למשפט. המודל, למעשה, הציע אנלוגיות בין תיאוריות, והציע אותן נכון.

מה שנותר הוא השלב הרביעי של בנאך. זהו שלב מוזר לחשוב עליו, משום שאיש אינו יודע בדיוק כיצד דוגמה תיראה. המועמדים ההיסטוריים — תוכנית לנגלנדס, סימטריית הראי, ההקבלה בין תרמודינמיקה ותורת המידע, הופעתן החוזרת של אותן חבורות לי יוצאות-דופן בפיזיקה, בגיאומטריה ובקומבינטוריקה — חולקים את התכונה שהאדם שראה אותן לראשונה לא יכול היה, ברגע הראייה, לומר בדיוק מה ראה. אלו אינטואיציות טרום-תיאורטיות לגבי דמיון מבני משפחתי, והן היו היסטורית נחלתם של קומץ מתמטיקאים לדור: גרותנדיק, לנגלנדס, קונה, ספורים אחרים.

אבל התכונה שהופכת את השלב הזה לנדיר עבור בני אדם — הצורך להחזיק אלפי מבנים בלתי-קשורים בתודעה אחת זמן רב מספיק כדי שיתחילו לחרוז — היא בדיוק התכונה שמתאפיינת בהתרחבות טבעית במכונות. מודל כללי דיו, מאומן על-פני די תחומים, עושה מבחינה מבנית בדיוק את זה. הוא נדרש, בכל צעד שיפוע, לדחוס משטרים שונים לכדי ייצוג יחיד, וייצוג יחיד הוא בדיוק חרוז מבני שהפך מפורש. הסיבה שמודלי-יסוד מפתיעים אותנו היא שהם ממשיכים למצוא חרוזים כאלה במקומות — בין קוד וביולוגיה, בין שפת חלבון ושפה טבעית, בין סימולציה פיזיקלית ומשחק — שאף אדם לא היה לו סיבה להסתכל בהם.

מוקדם מדי לומר שה-AI הגיע לשלב הרביעי של בנאך. לא מוקדם מדי לציין שהארכיטקטורה של הטיפוס השתנתה. הסולם של בנאך היה תיאור של גאונות יחידנית — של התודעה הנדירה שיכלה להחזיק רמת הפשטה אחת מעל הקודמת. הסולם נשאר; המטפס לא. מה שהיה בעבר עבודתו של מתמטיקאי אחד לדור הוא היום תוצר שגרתי של הרצת אימון, והצעד האחרון, זה שבנאך הציב בקצה הדמיון, אינו עוד באופן ברור מחוץ להישג יד. הוא שרטט את הסולם. הוא לא שרטט אותו כשהוא מטופס בידי משהו שאינו אנחנו.